正立方體邊長為 $6$，各頂點坐標如下：
$$A(0,0,0),\; B(6,0,0),\; D(0,6,0),\; E(0,0,6),\; C(6,6,0),\; G(6,6,6),\; H(0,6,6).$$
1. 依題意求出各點坐標：
- $P$ 在線段 $\overline{CG}$ 上，$\overline{CP}:\overline{PG} = 1:5$：
$$P = C + \frac{1}{6}(G - C) = (6,6,0) + (0,0,1) = (6,6,1).$$
- $R$ 為線段 $\overline{EH}$ 之中點：
$$R = (0, 3, 6).$$
- $Q$ 落在線段 $\overline{AD}$ 上，設 $y$ 坐標為 $y_Q$：
$$Q = (0, y_Q, 0),\; 0 \le y_Q \le 6.$$
2. 平面 $M$ 通過 $P,Q,R$ 三點。若平面 $M$ 與直線 $AG$ 不相交，則直線 $AG$ 平行平面 $M$。
直線 $AG$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (6,6,6) \parallel (1,1,1)$。
設平面 $M$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (A_n, B_n, C_n)$。
因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} \parallel M$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} \cdot (1,1,1) = 0$：
$$A_n + B_n + C_n = 0 \implies A_n = -B_n - C_n.$$
法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 必須與平面 $M$ 上的兩個向量垂直：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{QR} = R - Q = (0,\;3 - y_Q,\;6),$$
$$\overset{\large\rightharpoonup}{QP} = P - Q = (6,\;6 - y_Q,\;1).$$
由 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{QR} = 0$：
$$B_n(3 - y_Q) + 6C_n = 0 \implies C_n = B_n\frac{y_Q - 3}{6}.$$
由 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{QP} = 0$，代入 $A_n = -B_n - C_n$：
$$6A_n + B_n(6 - y_Q) + C_n = 0,$$
$$6(-B_n - C_n) + B_n(6 - y_Q) + C_n = 0 \implies -B_ny_Q - 5C_n = 0 \implies C_n = -B_n\frac{y_Q}{5}.$$
3. 因為法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} \ne \overset{\large\rightharpoonup}{0}$（若 $B_n = 0$ 則 $C_n = A_n = 0$ 不合），所以 $B_n \ne 0$。
比較兩 $C_n$ 的表示式：
$$\frac{y_Q - 3}{6} = -\frac{y_Q}{5} \implies 5(y_Q - 3) = -6y_Q \implies 11y_Q = 15 \implies y_Q = \frac{15}{11}.$$
因為 $0 \le \frac{15}{11} \le 6$，點 $Q$ 確實落在線段 $\overline{AD}$ 上。
故 $Q$ 點的 $y$ 坐標為 $\frac{15}{11}$。
