103學測數學單選第2題詳解

因為 $P$ 在 $xy$ 平面上，所以 $P$ 的 $z$ 坐標為 $0$。這可以排除選項 $(5)$。 接下來計算各選項的點到 $A(5,0,12)$、$B(-5,0,12)$ 的距離： $(1)$ $(5,0,0)$ 到 $A$ 的距離為 $$\sqrt{(5-5)^2 + (0-0)^2 + (0-12)^2} = 12 eq 13$$。 $(2)$ $(5,5,0)$ 到 $A$ 的距離為 $$\sqrt{(5-5)^2 + (5-0)^2 + (0-12)^2} = 13$$；但到 $B$ 的距離為 $$\sqrt{(5-(-5))^2 + (5-0)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{10^2 + 5^2 + 12^2} = \sqrt{269} eq 13$$。 $(3)$ $(0,12,0)$ 到 $A$ 的距離為 $$\sqrt{(0-5)^2 + (12-0)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{313} eq 13$$。 $(4)$ $(0,0,0)$ 到 $A$ 的距離為 $$\sqrt{(0-5)^2 + (0-0)^2 + (0-12)^2} = 13$$；且到 $B$ 的距離為 $$\sqrt{(0-(-5))^2 + (0-0)^2 + (0-12)^2} = 13$$，滿足條件。 故選 $(4)$。