110學測數學多選第10題詳解

已知 $\overline{AB}=4$、$\overline{AC}=6$。 選項 $(1)$：因為已知兩邊及其夾角 $\angle A$（由 $\cos A$ 決定），所以由餘弦定理 $\overline{BC}^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\cos A$ 可唯一決定 $\overline{BC}$，三角形唯一確定，此選項正確。 選項 $(2)$：設 $\overline{BC}=x$。因為已知 $\cos B$，由餘弦定理： $$6^2=4^2+x^2-2\cdot4\cdot x\cdot\cos B$$ 整理得 $x^2-8x\cos B-20=0$。因為判別式 $64\cos^2 B+80>0$，且兩根之積為 $-20<0$，所以恰有一正根，可唯一決定 $x$，此選項正確。 選項 $(3)$：已知 $\cos C$ 時，由餘弦定理 $4^2=6^2+x^2-2\cdot6\cdot x\cdot\cos C$，此二次方程可能產生兩個正根（對應 $\angle C$ 為銳角或鈍角時可能出現不同 $x$），所以不一定唯一決定三角形，此選項錯誤。 選項 $(4)$：面積 $=\frac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\sin A$，給定面積可決定 $\sin A$，但 $\angle A$ 可為銳角或鈍角（$\sin A$ 相同但 $\cos A$ 正負不同），由餘弦定理所得 $\overline{BC}$ 不同，所以不一定唯一，此選項錯誤。 選項 $(5)$：外接圓半徑 $R=\frac{\overline{BC}}{2\sin A}$。給定 $R$ 與兩邊 $4$、$6$，仍可能對應不同的三角形組態，所以不一定唯一，此選項錯誤。 故選 $(1)(2)$。