110學測數學多選第11題詳解

設 $D=(0,0)$，$C=(15,0)$。因為 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$ 且 $\overline{AB}=10$，所以設 $A=(p,h)$，$B=(p+10,h)$，其中 $h>0$。 令 $\overline{BC}=s$，則 $\overline{AD}=s+1$。 由距離公式： $$\overline{AD}^2=p^2+h^2=(s+1)^2$$ $$\overline{BC}^2=(p+10-15)^2+h^2=(p-5)^2+h^2=s^2$$ 兩式相減得 $p^2-(p-5)^2=(s+1)^2-s^2$，即 $10p-25=2s+1$，所以 $p=\frac{s+13}{5}$。 因此 $h^2=s^2-(p-5)^2=s^2-\left(\frac{s+13}{5}-5\right)^2=s^2-\left(\frac{s-12}{5}\right)^2=\frac{25s^2-(s-12)^2}{25}=\frac{24s^2+24s-144}{25}=\frac{24(s+3)(s-2)}{25}$。 因為 $h^2>0$，所以 $s>2$。 選項 $(1)$：由坐標可知 $\cos A=-\frac{p}{s+1}$，$\cos B=\frac{5-p}{s}$。因為 $p=\frac{s+13}{5}>\frac{5}{2}$（由 $s>2$），可推得 $\cos A<\cos B$，所以 $\angle A>\angle B$，此選項正確。 選項 $(2)$：因為 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$，所以 $\angle A+\angle D=180^\circ$。又 $\angle A>\angle B$，所以 $\angle B+\angle D<\angle A+\angle D=180^\circ$，此選項正確。 選項 $(3)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{BA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{BC}=(-10,0)\cdot(p+10-15,h)=(-10)\cdot(p-5)=10(5-p)$。因為 $p=\frac{s+13}{5}$，所以 $5-p=5-\frac{s+13}{5}=\frac{12-s}{5}$。當 $s<12$ 時內積為正，當 $s>12$ 時內積為負，所以不一定小於 $0$，此選項錯誤。 選項 $(4)$：因為 $s>2$，而 $s=2$ 時 $h=0$ 梯形退化，所以 $\overline{BC}$ 不可能是 $2$，此選項錯誤。 選項 $(5)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{CB}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{CD}=(15-p-10,-h)\cdot(15,0)=15(5-p)=15\cdot\frac{12-s}{5}=3(12-s)=36-3s$。因為 $s>2$，所以 $36-3s<30$，此選項正確。 故選 $(1)(2)(5)$。