110學測數學多選第9題詳解

設甲候選人總得票數為 $T_{\text{甲}}=0.4x+0.55y$，乙候選人總得票數為 $T_{\text{乙}}=0.6x+0.45y$。 則 $T_{\text{甲}}-T_{\text{乙}}=-0.2x+0.1y=0.1(y-2x)$。 當 $T_{\text{甲}}>T_{\text{乙}}$ 時甲當選；當 $T_{\text{甲}}<T_{\text{乙}}$ 時乙當選。 選項 $(1)$：因為只知道 $x+y$ 無法確定 $y-2x$ 的符號（例如 $x=100,y=100$ 與 $x=10,y=190$的 $x+y$ 相同但 $y-2x$ 符號不同），所以無法決定當選人，此選項錯誤。 選項 $(2)$：因為 $x:y<\frac{1}{2}$ 即 $y>2x$，此時 $y-2x>0$，所以 $T_{\text{甲}}-T_{\text{乙}}>0$，甲候選人當選，可決定當選人，此選項正確。 選項 $(3)$：因為 $x>y>0$，所以 $y-2x<y-2y=-y<0$，即 $T_{\text{甲}}-T_{\text{乙}}<0$，乙候選人當選，可決定當選人，此選項正確。 選項 $(4)$：甲在第一投票所的票數 $0.4x$ 多於在第二投票所的票數 $0.55y$，即 $0.4x>0.55y$，化簡得 $8x>11y$，即 $x>1.375y$。此時 $y-2x<y-2.75y=-1.75y<0$，所以乙當選，可決定當選人，此選項正確。 選項 $(5)$：乙在第二投票所的票數 $0.45y$ 多於在第一投票所的票數 $0.6x$，即 $0.45y>0.6x$，化簡得 $3y>4x$，即 $y>\frac{4}{3}x$。但此條件下 $y-2x$ 可能為正也可能為負（例如 $x=3,y=5$ 時 $y-2x=-1<0$ 乙勝；$x=2,y=5$ 時 $y-2x=1>0$ 甲勝），所以無法決定當選人，此選項錯誤。 故選 $(2)(3)(4)$。