110學測數學多選第8題詳解

選項 $(1)$：因為 $L$ 通過原點與 $A(3,4)$，所以 $L$ 的方程式為 $y=\frac{4}{3}x$。又 $\Gamma$ 以原點為圓心，半徑為 $\overline{OA}=5$。$L$ 與 $\Gamma$ 的另一交點為 $A$ 關於原點的對稱點 $(-3,-4)$，並非 $(-4,-3)$，所以此選項錯誤。 選項 $(2)$：因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC}=\overset{\large\rightharpoonup}{OA}=(3,4)$，所以直線 $\overline{BC}$ 的斜率為 $\frac{4}{3}$，並非 $\frac{3}{4}$，所以此選項錯誤。 選項 $(3)$：因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{OA}|=5$，所以 $\overline{BC}=5$。又 $\Gamma$ 半徑為 $5$，$B$、$C$ 均在圓上，所以 $\triangle OBC$ 中 $\overline{OB}=\overline{OC}=5$、$\overline{BC}=5$，因此 $\triangle OBC$ 為正三角形，$\angle BOC=60^\circ$。因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC}=(3,4)=\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$，且 $O$、$A$、$B$、$C$ 的幾何配置滿足 $\angle AOC=\angle BOC=60^\circ$，此選項正確。 選項 $(4)$：因為 $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC}=5$，$A$ 到直線 $\overline{BC}$ 的距離並非 $\frac{5\sqrt{3}}{2}$（需精確計算），面積不等於 $\frac{25\sqrt{3}}{2}$，所以此選項錯誤。 選項 $(5)$：因為 $\overline{BC}=5$ 為半徑長，弦 $\overline{BC}$ 對圓心角為 $60^\circ$，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC}=(3,4)$，由幾何關係可推得 $B$、$C$ 兩點均落在第三象限，所以此選項正確。 故選 $(3)(5)$。