107學測數學多選第10題詳解

先計算各邊向量及其長度： $|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$。 $|\overset{\large\rightharpoonup}{AC}| = \sqrt{(\frac{24}{5})^2 + (\frac{7}{5})^2} = \sqrt{\frac{576+49}{25}} = \sqrt{\frac{625}{25}} = 5$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC} = \overset{\large\rightharpoonup}{AC} - \overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (\frac{24}{5} + 4,\; \frac{7}{5} - 3) = (\frac{44}{5},\; -\frac{8}{5})$。 $|\overset{\large\rightharpoonup}{BC}| = \sqrt{(\frac{44}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \frac{\sqrt{1936+64}}{5} = \frac{\sqrt{2000}}{5} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$。 選項 $(1)$：因為 $\overline{BC} = 4\sqrt{5} \neq 5$，所以此選項錯誤。 選項 $(2)$：因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}| = |\overset{\large\rightharpoonup}{AC}| = 5$，所以 $\Delta ABC$ 為等腰三角形。（正確） 選項 $(3)$：三角形面積 $= \frac{1}{2}|(-4)(\frac{7}{5}) - (3)(\frac{24}{5})| = \frac{1}{2}|-\frac{28}{5} - \frac{72}{5}| = \frac{1}{2} \times 20 = 10$。（正確） 選項 $(4)$：因為 $\overline{AB} = \overline{AC}$，所以 $\angle B = \angle C$，因此 $\sin B = \sin C$。 選項 $(5)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (-4)(\frac{24}{5}) + (3)(\frac{7}{5}) = -\frac{96}{5} + \frac{21}{5} = -\frac{75}{5} = -15$。所以 $\cos A = \frac{-15}{5 \times 5} = -\frac{3}{5} < 0$，$\angle A$ 為鈍角。因為三角形內角和為 $180^\circ$ 且 $\angle B = \angle C$，所以 $\angle B$ 為銳角，$\cos B > 0$。因此 $\cos A < \cos B$。 故選 $(2)(3)$。