109指考數學乙補考多選第4題詳解

1. 先求可行解區域 $\Omega$ 的各頂點。 因為約束條件為 $4x + y \le 16$、$-2x + 3y \le 6$、$x \ge 0$、$y \ge 0$，所以頂點為各邊界線交點： 因為 $4x + y = 16$ 與 $x = 0$ 交於 $(0, 16)$，但代入 $-2x + 3y \le 6$ 得 $48 \not\le 6$，所以 $(0,16)$ 不在區域內。頂點應為： $O(0,0)$、$P_1(4,0)$（$4x + y = 16$ 與 $y = 0$ 的交點）、$P_2(0,2)$（$-2x + 3y = 6$ 與 $x = 0$ 的交點）、以及 $P_3$ 為 $4x + y = 16$ 與 $-2x + 3y = 6$ 的交點。 2. 解 $P_3$： $$\begin{aligned} 4x + y &= 16 \\ -2x + 3y &= 6 \end{aligned}$$ 因為將第一式乘以 $3$ 減第二式：$12x + 3y - (-2x + 3y) = 48 - 6$，得 $14x = 42$，所以 $x = 3$。代入得 $y = 16 - 4 \times 3 = 4$。故 $P_3(3,4)$。 3. 因為最大值為 $12$ 且取得最大值的點不在坐標軸上，所以最大值在 $P_3(3,4)$ 取得： $$3a + 4b = 12$$ 且目標函數直線 $ax + by = k$ 的斜率 $-\frac{a}{b}$ 必須介於兩約束邊界斜率之間，即 $-4 \le -\frac{a}{b} \le \frac{2}{3}$。 選項 $(1)$： 因為 $3a + 4b = 12$ 而非 $4a + 3b = 12$，所以錯誤。 選項 $(2)$： 因為 $-\frac{a}{b}$ 的下界為 $-4$，不一定大於 $-3$（例如當 $b > 0$ 時 $-\frac{a}{b}$ 可能為 $-4$），所以不一定成立。 選項 $(3)$： 因為 $-\frac{a}{b} \le \frac{2}{3}$，所以 $-\frac{a}{b} < \frac{2}{3}$ 成立。 選項 $(4)$： 若 $b = -3$，由 $3a + 4b = 12$ 得 $a = 8$，此時 $-\frac{a}{b} = \frac{8}{3}$，不在區間 $[-4, \frac{2}{3}]$ 範圍內，所以 $b$ 不可能為 $-3$。 選項 $(5)$： 若 $b = 1$，由 $3a + 4b = 12$ 得 $a = \frac{8}{3}$，此時 $-\frac{a}{b} = -\frac{8}{3}$，在區間 $[-4, \frac{2}{3}]$ 範圍內（$-\frac{8}{3} \approx -2.67 \ge -4$），所以 $b$ 可能為 $1$。 故選 $(3)(5)$。