103學測數學多選第12題詳解

逐一分析各選項： $(1)$ 對照表格數據：各年齡層的失業率分別為 $12.66\%$、$9.80\%$、$13.17\%$、$7.08\%$。其中以 $40 \sim 44$ 歲的 $13.17\%$ 為最高。故 $(1)$ 正確。 $(2)$ 表格僅提供「失業率」（比率），並未給出各組的「勞動力人數」或「失業人數」的具體數值，所以無法得知人數的相對大小。故 $(2)$ 錯誤。 $(3)$ $40 \sim 49$ 歲的失業率為 $40 \sim 44$ 歲與 $45 \sim 49$ 歲兩組合併後的總失業率。合併後的失業率應以兩組的「勞動力人數」為權重進行加權平均，只有當兩組的勞動力人數剛好相等時，合併失業率才會等於算術平均數 $$\frac{13.17\% + 7.08\%}{2}$$。故 $(3)$ 錯誤。 $(4)$ 設 $35 \sim 39$ 歲與 $40 \sim 44$ 歲的勞動力人數分別為 $A$ 與 $B$。 合併組別 $35 \sim 44$ 歲的失業率 $12.66\%$ 是兩者以人數為權重的加權平均： $$\frac{9.80\% \times A + 13.17\% \times B}{A + B} = 12.66\% \implies 9.80 A + 13.17 B = 12.66(A + B)$$$$\implies 0.51 B = 2.86 A \implies B = \frac{2.86}{0.51} A \approx 5.6 A$$因為 $A, B > 0$，所以 $B > A$，即 $35 \sim 39$ 歲勞動力人數少於 $40 \sim 44$ 歲勞動力人數。故 $(4)$ 正確。 $(5)$ $40 \sim 44$ 歲與 $45 \sim 49$ 歲為兩個獨立組別，其各自的失業率變化互相獨立，無因果關係。故 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確的選項為 $(1)(4)$。