103學測數學多選第11題詳解

設等差數列的公差為 $d$，則第 $n$ 項為 $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)d$。 $(1)$ 若 $a_{100} = 1 + 99d > 0 \implies d > -\frac{1}{99}$。此時若公差 $d = -\frac{1}{500}$，則 $a_{100} = 1 - \frac{99}{500} > 0$，但 $a_{1000} = 1 - \frac{999}{500} < 0$。故 $(1)$ 錯誤。 $(2)$ 若 $a_{100} = 1 + 99d < 0 \implies d < -\frac{1}{99} < 0$，說明公差為負，數列遞減。 因為 $a_{1000} = a_{100} + 900d$，而 $a_{100} < 0$ 且 $d < 0$，所以 $a_{1000}$ 必小於 $0$。故 $(2)$ 正確。 $(3)$ 「若 $a_{1000} > 0$，則 $a_{100} > 0$」是 $(2)$ 命題的逆否命題（Contrapositive）。既然 $(2)$ 成立，則 $(3)$ 必然成立。故 $(3)$ 正確。 $(4)$ 「若 $a_{1000} < 0$，則 $a_{100} < 0$」是 $(1)$ 命題的逆否命題。既然 $(1)$ 不成立，則 $(4)$ 亦不成立。故 $(4)$ 錯誤。 $(5)$ 根據等差數列的性質，項數差與公差的關係為： - 左式：$$a_{1000} - a_{10} = (1000 - 10)d = 990d$$ - 右式：$$10(a_{100} - a_1) = 10 \times (100 - 1)d = 990d$$ 左右兩式相等。故 $(5)$ 正確。 綜上所述，正確的選項為 $(2)$(3)$(5)$。