101指考數學甲單選第3題詳解

因為 $A$、$B$、$C$ 是實驗的所有可能結果，且彼此互斥，所以其機率和為 $1$： $$p_{\scriptscriptstyle A} + p_{\scriptscriptstyle B} + p_{\scriptscriptstyle C} = 1$$ 將 $p_{\scriptscriptstyle B}$ 與 $p_{\scriptscriptstyle C}$ 以底數 $2$ 表示： $$p_{\scriptscriptstyle B} = \log_4 a = \frac{\log_2 a}{\log_2 4} = \frac{1}{2} \log_2 a = \frac{1}{2} p_{\scriptscriptstyle A}$$ $$p_{\scriptscriptstyle C} = \log_8 a = \frac{\log_2 a}{\log_2 8} = \frac{1}{3} \log_2 a = \frac{1}{3} p_{\scriptscriptstyle A}$$ 代入機率和為 $1$ 的方程式： $$p_{\scriptscriptstyle A} + \frac{1}{2} p_{\scriptscriptstyle A} + \frac{1}{3} p_{\scriptscriptstyle A} = 1 \implies p_{\scriptscriptstyle A} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 1 \implies p_{\scriptscriptstyle A} \left(\frac{11}{6}\right) = 1 \implies p_{\scriptscriptstyle A} = \frac{6}{11}$$ 故選 $(2)$。