84大學聯考數學（自然組）單選第6題詳解

方程組 $M_t \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 恆有解的充分且必要條件為其係數矩陣的行列式值不為零，即 $\det(M_t) \neq 0$。 根據行列式性質， $$ \begin{aligned} \det(M_t) &= \det\begin{bmatrix} t & 1 \\ 3-t & t+1 \end{bmatrix} \times \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ t+3 & 3t+1 \end{bmatrix} \\ &= [t(t+1)-(3-t)] [1(3t+1)-2(t+3)] \\ &= (t^2+2t-3)(t-5) \\ &= (t-1)(t+3)(t-5). \end{aligned} $$ 所以 $$ (t-1)(t+3)(t-5)\neq0 \implies t\notin\{1,-3,5\}. $$ 答案為選項 $(4)$。