100指考數學甲多選第5題詳解

由 $\det A=4b-9a=2$，得 $9a-4b=-2$，故選項 $(1)$ 正確。 因為上述推導，所以計算矩陣乘積： $$AB=\begin{bmatrix}4&a\\9&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6&7\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24+ac&28+ad\\54+bc&63+bd\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&10\\-2&15\end{bmatrix}$$ 比對元素得 $ac=-21$、$ad=-18$、$bc=-56$、$bd=-48$。由 $ac=-21$ 與 $ad=-18$ 得 $\frac{c}{d}=\frac{7}{6}$。 又 $\det(AB)=\det A\det B$，且 $$\det(AB)=\begin{vmatrix}3&10\\-2&15\end{vmatrix}=65$$ 所以 $\det B=\frac{65}{2}$。因 $\det B=6d-7c$，代入 $c=\frac{7}{6}d$ 得 $d=-15$，並得 $c=-\frac{35}{2}$。故選項 $(2)$ 錯誤，選項 $(3)$ 正確。 檢查選項 $(4)$： $$\begin{bmatrix}b&-a\\-9&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&a\\9&b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4b-9a&0\\0&-9a+4b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}$$ 因此該乘積不是 $I$，選項 $(4)$ 錯誤。故選 $(1)(3)$。