99指考數學甲單選第1題詳解

1. 向量夾角公式 $\cos\theta=\frac{\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|}$。因為 $\cos\theta$ 在 $0\le\theta\le\pi$ 上遞減，所以夾角最小等價於 $\cos\theta$ 最大。 2. 給定向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(2,-1)$，$|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|=\sqrt{5}$。逐一計算各選項向量與 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 的內積（分母 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$ 皆為 $\sqrt{3}$，不影響比較）： 選項 $(1)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(-1,-\sqrt{2})$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-\sqrt{2})=-2+\sqrt{2}$ 選項 $(2)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(-\sqrt{2},1)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=2\cdot(-\sqrt{2})+(-1)\cdot 1=-2\sqrt{2}-1$ 選項 $(3)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(-1,\sqrt{2})$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot\sqrt{2}=-2-\sqrt{2}$ 選項 $(4)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(1,\sqrt{2})$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=2\cdot 1+(-1)\cdot\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$ 選項 $(5)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(\sqrt{2},1)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=2\cdot\sqrt{2}+(-1)\cdot 1=2\sqrt{2}-1$ 比較各內積：因為 $\sqrt{2}>1$，所以 $2\sqrt{2}-1>2-\sqrt{2}$（兩式相減得 $3\sqrt{2}-3>0$）。又 $2-\sqrt{2}>0>-2+\sqrt{2}>-2-\sqrt{2}>-2\sqrt{2}-1$，因此選項 $(5)$ 的內積最大，$\cos\theta$ 最大，夾角最小。 故選 $(5)$。