102指考數學乙選填第9題詳解

因為設隨機變數 $X$ 代表得到獎金的金額（即第 $X$ 次抽到黑球）。由於抽出後不放回，且每次抽球機率相等，我們有： - 第 $1$ 次抽中黑球的機率 $P(X=1) = \frac{1}{4}$。 - 第 $2$ 次抽中黑球的機率 $P(X=2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$。 - 第 $3$ 次抽中黑球的機率 $P(X=3) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。 - 第 $4$ 次抽中黑球的機率 $P(X=4) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}$。 所以期望值為 $$E(X) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{4} = \frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\text{ 元}$$。