111分科測驗數學甲選填第9題詳解

每次抽籤中，顧客取得紅包的條件是連續兩回抽中「大吉」。 因為每回抽中「大吉」的機率為 $\frac{1}{5}$，且最多抽取 $3$ 回， 所以獲勝機率 $p$ 為以下兩情形的機率和： 情形一：第一回中且第二回中（第三回任意），機率 $\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$。 情形二：第一回沒中、第二回中、第三回中，機率 $\frac{4}{5}\times\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{4}{125}$。 因此 $p = \frac{1}{25}+\frac{4}{125} = \frac{5+4}{125} = \frac{9}{125}$。 每位顧客抽籤是否得到紅包為伯努力試驗，成功機率 $p=\frac{9}{125}$。 第一個得到紅包的顧客是第 $X$ 位，$X$ 服從幾何分布， $$E(X) = \frac{1}{p} = \frac{125}{9}.$$ 因為 $\frac{125}{9}=13.88\ldots$，四捨五入至整數位得 $14$。 故填 $14$。