111分科測驗數學甲多選第8題詳解

令 $c_n = \frac{4n-1}{n} = 4-\frac{1}{n}$。已知條件為 $$b_n+c_n < a_n < 3b_n.$$ $(1)$ 由 $a_n < 3b_n$ 得 $b_n > \frac{a_n}{3}$，無法推得 $b_n < 6-\frac{4n-1}{n}$，$(1)$ 錯誤。 $(2)$ 由 $b_n+c_n < a_n$ 及 $a_n < 3b_n$ 可得 $b_n+c_n < 3b_n$， 所以 $c_n < 2b_n$，即 $b_n > \frac{c_n}{2} = \frac{4n-1}{2n}$，$(2)$ 正確。 $(3)$ 因為 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 6$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty}c_n = 4$， 由 $b_n+c_n < a_n < 3b_n$ 取極限： $\limsup b_n + 4 \le 6 \le 3\liminf b_n$。 由右不等式 $\liminf b_n \ge 2$；由左不等式 $\limsup b_n \le 2$。 因此 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n = 2$，數列收斂，$(3)$ 錯誤。 $(4)$ 取 $b_n=3$，則 $c_n<b_n$ 且 $b_n+c_n<3b_n$ 成立， 但 $a_n<3b_n$ 無法限制 $a_n$ 的上界。 可構造 $b_n=3$、$a_n=8$（滿足 $3+c_n<8<9$ 當 $n$ 夠大時）， 此時 $a_{10000}=8>6.1$，$(4)$ 錯誤。 $(5)$ 當 $n=10000$ 時，$c_{10000} = \frac{39999}{10000} = 3.9999$。 由 $b_n > \frac{c_n}{2}$ 及 $a_n > b_n+c_n$： $$a_{10000} > b_{10000}+c_{10000} > \frac{3}{2}c_{10000} = 1.5 \times 3.9999 = 5.99985 > 5.9,$$ 所以 $(5)$ 正確。 故選 $(2)(5)$。