112分科測驗數學甲多選第7題詳解

1. 將 $12$ 點鐘位置記為模 $12$ 的 $0$，每次移動等同於加上 $+5$（正面）或 $-5$（反面）。 2. 第一次後位置為 $5$ 或 $7$（機率各半），所以 $E(X_1)=\frac{5+7}{2}=6$，故 $(1)$ 正確。 兩次後若一次正面、一次反面就回到 $12$，此情況機率為 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，不是 $\frac{1}{4}$，故 $(2)$ 錯誤。 3. 八次後，設正面次數為 $h$，位置為 $5(2h-8)\pmod{12}$。 因為 $h=0,1,\ldots,8$ 時只會得到偶數鐘點或 $12$，不可能得到 $5$，所以 $P(X_8=5)=0$，故 $(3)$ 錯誤。 $X_8=4$ 對應 $h=2$ 或 $8$；$X_8=8$ 對應 $h=0$ 或 $6$，兩者機率皆為 $\frac{C^8_2+C^8_8}{2^8}=\frac{28+1}{256}=\frac{29}{256}$，故 $(4)$ 正確。 4. 計算期望值 $$E(X_8)=\frac{1}{2^8}\bigl[8C^8_0+6C^8_1+4C^8_2+2C^8_3+12C^8_4+10C^8_5+8C^8_6+6C^8_7+4C^8_8\bigr]=\frac{1956}{256}.$$ 因為 $\frac{1956}{256}>7$，所以 $E(X_8)>7$，故 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。