103學測數學選填第17題詳解

利用平行四邊形法則，$\overset{\large\rightharpoonup}{u} + \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 為以 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 為鄰邊所構成平行四邊形的對角線。 因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}| = |\overset{\large\rightharpoonup}{v}| = 1$，所以此平行四邊形為菱形，其對角線 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} + \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 會平分 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的夾角。 已知對角線 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} + \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 的夾角為 $75^\circ$，因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的夾角為 $75^\circ \times 2 = 150^\circ$。 根據向量內積定義：$$\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = |\overset{\large\rightharpoonup}{u}| |\overset{\large\rightharpoonup}{v}| \cos 150^\circ = 1 \times 1 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$故填 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$。