86學測數學選填第15題詳解

已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = 3 \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + 2 \overset{\large\rightharpoonup}{AD}$，我們將此式兩邊平方以求解 $\overline{AC}$ 的長度： $$\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\right\|^2 = 9\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right\|^2 + 4\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AD}\right\|^2 + 12(\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AD})$$ 已知其長度與夾角，計算向量內積為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right\| \left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AD}\right\| \cos 120^\circ = 1 \times 2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$$ 代回平方關係式： $$\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\right\|^2 = 9(1)^2 + 4(2)^2 + 12(-1) = 9 + 16 - 12 = 13$$ 因此，$\overline{AC}$ 的長度為 $\sqrt{13}$。