94學測數學選填第17題詳解

因為依題目條件進行如下推導： 因為角平分線定理給出 $$ \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac36=\frac12. $$ 設 $\overline{AB}=\overline{AD}=t$，便有 $\overline{AC}=2t$。在兩個小三角形使用餘弦定理： $$ 9=2t^2(1-\cos\theta), \; 36=t^2(5-4\cos\theta), $$ 其中 $\theta=\angle BAD$。第二式除以第一式得 $$ 4=\frac{5-4\cos\theta}{2(1-\cos\theta)} \;\implies\; 4\cos\theta=3. $$ 所以 $\cos\angle BAD=\frac34$。 另解 設 $\angle BAD = \angle CAD = \theta$。 根據三角形角平分線定理，兩側邊長比等於底邊被平分段之比： $$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies \overline{AC} = 2\overline{AB}$$ 設 $\overline{AB} = x$，則 $\overline{AC} = 2x$。 題目給定 $\overline{AB} = \overline{AD}$，故 $\overline{AD} = x$。 我們分別在 $\triangle ABD$ 與 $\triangle ACD$ 中對 $\theta$ 使用餘弦定理： 1. 在 $\triangle ABD$ 中： $$\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AD}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{AD}\cos\theta$$ $$9 = x^2 + x^2 - 2x^2\cos\theta = 2x^2(1 - \cos\theta)\text{ --- (式一)}$$ 2. 在 $\triangle ACD$ 中： $$\overline{DC}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{AD}^2 - 2\overline{AC} \cdot \overline{AD}\cos\theta$$ $$36 = (2x)^2 + x^2 - 2(2x)(x)\cos\theta = 5x^2 - 4x^2\cos\theta\text{ --- (式二)}$$ 將 (式二) 除以 (式一) 以消去 $x^2$： $$\frac{36}{9} = \frac{x^2(5 - 4\cos\theta)}{2x^2(1 - \cos\theta)} \implies 4 = \frac{5 - 4\cos\theta}{2(1 - \cos\theta)}$$ $$8(1 - \cos\theta) = 5 - 4\cos\theta \implies 8 - 8\cos\theta = 5 - 4\cos\theta$$ $$4\cos\theta = 3 \implies \cos\theta = \frac{3}{4}$$ 因此，$\cos\angle BAD = \frac{3}{4}$。