95學測數學選填第19題詳解

因為 $\overline{BC}=\overline{BD}+\overline{DC}=15$，在 $\triangle ABC$ 用餘弦定理可得 $$\cos B=\frac{\overline{AB}^{,2}+\overline{BC}^{,2}-\overline{AC}^{,2}}{2(\overline{AB})(\overline{BC})}=\frac{49+225-169}{210}=\frac12.$$ 所以 $\angle B=60^\circ$。而 $\overline{AB}=\overline{BD}=7$，故 $\triangle ABD$ 為兩腰夾角 $60^\circ$ 的等腰三角形，也是正三角形。所以 $\overline{AD}=7$。 另解： 在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC} = \overline{BD} + \overline{CD} = 7 + 8 = 15$。 首先在 $\triangle ABC$ 中，由餘弦定理求出 $\cos B$： $$\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{BC} \cos B$$ $$13^2 = 7^2 + 15^2 - 2(7)(15)\cos B$$ $$169 = 49 + 225 - 210\cos B \implies 210\cos B = 105 \implies \cos B = \dfrac{1}{2}$$ 故得 $\angle B = 60^\circ$。 接著在 $\triangle ABD$ 中，利用餘弦定理求 $\overline{AD}$： $$\overline{AD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{BD} \cos B$$ $$\overline{AD}^2 = 7^2 + 7^2 - 2(7)(7)\left(\dfrac{1}{2}\right) = 49 + 49 - 49 = 49$$ $$\overline{AD} = 7$$ （亦可直接由 $\overline{AB} = \overline{BD} = 7$ 且 $\angle B = 60^\circ$ 判定 $\triangle ABD$ 為等邊三角形，故 $\overline{AD} = 7$）。