86大學聯考數學（自然組）選填第6題詳解

由題意，設 $z(\sqrt{3}+i) = -2\sqrt{3}+2i$。 我們可以直接計算 $z$ 的值： $$z = \dfrac{-2\sqrt{3}+2i}{\sqrt{3}+i}$$ 因為要化簡分式，所以分子分母同乘以分母的共軛複數 $\sqrt{3}-i$，得： $$\begin{aligned} z &= \dfrac{(-2\sqrt{3}+2i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} \\[4pt] &= \dfrac{-6 + 2\sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i + 2}{3+1} \\[4pt] &= \dfrac{-4 + 4\sqrt{3}i}{4} = -1 + \sqrt{3}i. \end{aligned}$$ 將 $z$ 化為極式： $$z = 2 \left( -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right) = 2 \left( \cos \dfrac{2\pi}{3} + i \sin \dfrac{2\pi}{3} \right)$$ 故 $z$ 的主幅角為 $\frac{2\pi}{3}$。 另解（主幅角性質）： 由複數相乘時模長相乘、輻角相加的性質： $$\text{Arg}(z \cdot w) = \text{Arg}(z) + \text{Arg}(w) \pmod{2\pi}$$ 設 $w = \sqrt{3}+i$，其主幅角 $\text{Arg}(w) = \frac{\pi}{6}$。 設 $u = -2\sqrt{3}+2i$，其位於第二象限，且滿足： $$u = 4 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = 4 \left( \cos \dfrac{5\pi}{6} + i \sin \dfrac{5\pi}{6} \right)$$ 故其主幅角 $\text{Arg}(u) = \frac{5\pi}{6}$。 所以因此： $$\text{Arg}(z) = \text{Arg}(u) - \text{Arg}(w) = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}.$$