85大學聯考數學（自然組）選填第15題詳解

1. 依題意，$\dfrac{z_1}{z_2}$ 的模為 $\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} = \sqrt{2}$, 且其幅角為 $\dfrac{\pi}{4}$。 2. 我們可將其寫成極式： $$\dfrac{z_1}{z_2} = \sqrt{2}(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i\dfrac{1}{\sqrt{2}}) = 1 + i.$$ 因此，$z_1 = z_2(1 + i)$。 3. 將 $z_1 = 2 + ai$ 與 $z_2 = 2b + (2-b)i$ 代入： $$ \begin{aligned} 2 + ai &= [2b + (2-b)i](1 + i) \\ &= 2b + 2bi + (2-b)i - (2-b) \\ &= (3b - 2) + (b + 2)i. \end{aligned} $$ 比較複數的實部與虛部： $$ \begin{aligned} 2 &= 3b - 2 &&\implies b = \dfrac{4}{3},\\ a &= b + 2 &&\implies a = \dfrac{10}{3}. \end{aligned} $$ 故數對 $(a,b) = (\dfrac{10}{3}, \dfrac{4}{3})$。