86大學聯考數學（自然組）選填第7題詳解

設原始本金為 $A$，經過 $n$ 年後，依複利計算之本利和超過本金的 $2$ 倍。依題意可列出不等式： $$A(1 + 12.5\%)^n > 2A \implies (1.125)^n > 2$$ 將底數化為分數形式： $$1.125 = \dfrac{9}{8}$$ 不等式變為： $$\left( \dfrac{9}{8} \right)^n > 2$$ 兩邊取以 $10$ 為底的常用對數 $\log_{10}$： $$\begin{aligned} n \left( \log_{10} 9 - \log_{10} 8 \right) &> \log_{10} 2 \\ &\implies n \left( 2\log_{10} 3 - 3\log_{10} 2 \right) > \log_{10} 2 \end{aligned}$$ 代入已知近似值 $\log_{10} 2 \approx 0.301$ 與 $\log_{10} 3 \approx 0.477$： $$\begin{aligned} n \left[ 2(0.477) - 3(0.301) \right] &> 0.301 \\ &\implies n (0.954 - 0.903) > 0.301 \\ &\implies 0.051n > 0.301 \\ &\implies n > \dfrac{0.301}{0.051} = \dfrac{301}{51} \approx 5.902 \end{aligned}$$ 因為年數 $n$ 必須為正整數，所以至少需要 6 年，本利和才會超過本金的 $2$ 倍。 另解（72法則）： 依據財務學上的「72法則」（Rule of 72），本金翻倍所需時間大約為： $$n \approx \dfrac{72}{\text{年利率百分比}} = \dfrac{72}{12.5} = 5.76\text{ 年}$$ 故取整數年數為 $6$ 年。