89大學聯考數學（自然組）選填第7題詳解

1. 設原始資金為 $x$。每星期損失 $1\%$，剩餘資金為原本的 $99\%$（$0.99$ 倍）。 2. 第 $n$ 星期結束後，剩餘資金為 $(0.99)^n x$。題意要求總損失超過一半，即剩餘資金少於原始資金的一半： $$(0.99)^n x < \frac{1}{2} x \implies (0.99)^n < 0.5$$ 3. 兩邊取以 $10$ 為底的對數： $$n \log_{10} (0.99) < \log_{10} 0.5 \implies n \log_{10} \left(\frac{99}{100}\right) < -\log_{10} 2$$ $$n (2\log_{10} 3 + \log_{10} 11 - 2) < -\log_{10} 2$$ 4. 代入已知數值： $$n (2 \times 0.4771 + 1.0414 - 2) < -0.3010$$ $$n (0.9542 + 1.0414 - 2) < -0.3010$$ $$n (-0.0044) < -0.3010 \implies n > \frac{0.3010}{0.0044} \approx 68.41$$ 5. 因為 $n$ 為正整數，所以最小的 $n$ 為 $69$。 答案為 $69$。