89大學聯考數學（自然組）選填第6題詳解

1. 由根與係數關係得： $$a + b = -1, \ ab = c$$ 2. 又 $\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$ 也為此方程式的兩根，故： $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -1 \implies \frac{a+b}{ab} = -1 \implies \frac{-1}{c} = -1 \implies c = 1$$ 3. 此時方程式為 $x^2+x+1=0$，其判別式為 $1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$，兩根確實非實數。 4. 故所求為： $$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-1)^2 - 2c = 1 - 2(1) = -1$$ 答案為 $-1$。