詳解
設 $f(x) = x^3+x^2-x+a$，則其導函數為 $f'(x) = 3x^2+2x-1 = (3x-1)(x+1)$。
令 $f'(x) = 0 \implies x = -1$ 或 $x = \frac{1}{3}$。
- 當 $x < -1$ 或 $x > \frac{1}{3}$ 時，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 遞增。
- 當 $-1 < x < \frac{1}{3}$ 時，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 遞減。
極值為：
- 極大值：$f(-1) = a + 1$。
- 極小值：$f\left(\frac{1}{3}\right) = a - \frac{5}{27}$。
討論方程式 $f(x) = 0$ 的根：
1. 若有三個相異實根，則極大值與極小值需異號，即：
$$(a+1)\left(a-\frac{5}{27}\right) < 0 \implies -1 < a < \frac{5}{27}$$
又 $a$ 為非零實數 ($a \ne 0$)：
- 當 $-1 < a < 0$ 時，方程式有三個相異實根。因為常數項 $a < 0$，三根之積為 $-a > 0$，且 $f(0) = a < 0$，由勘根定理知根為一正根、兩負根。符合 $(2)$。
- 當 $0 < a < \frac{5}{27}$ 時，三根之積為 $-a < 0$，且 $f(0) = a > 0$，根為兩正根、一負根。符合 $(3)$。
2. 若僅有一實根（及兩共軛虛根），則極大值與極小值同號：
- 當 $a > \frac{5}{27}$ 或 $a < -1$ 時，方程式僅有一實根。符合 $(5)$。
綜合以上，可能的情形為 $(2)(3)(5)$。
答案選 $(2)(3)(5)$。
邊界情形也可檢查：若 $a=-1$，則 $f(-1)=0$ 且 $f'(-1)=0$，出現重根；若 $a=\dfrac{5}{27}$，則 $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$ 且 $f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$，也出現重根。這兩種邊界情形不新增選項所列的可能情形，因此答案仍為 $(2)(3)(5)$。
函數圖形與根之關係示意圖