109指考數學甲補考多選第7題詳解

選項 $(1)$：正確。 因為 $f(x)$ 為多項式函數，所以在區間 $[1,2]$ 上連續。由中間值定理，若 $f(1)f(2) < 0$，則存在 $c \in (1,2)$ 使得 $f(c) = 0$。 選項 $(2)$：錯誤。 因為 $f(1)f(2) > 0$ 不代表區間內沒有根，可能在 $(1,2)$ 內有偶數個根。例如 $f(x) = (x-1.2)(x-1.8)$，此時 $f(1) > 0$ 且 $f(2) > 0$，但在 $x = 1.2$ 及 $x = 1.8$ 有根。 選項 $(3)$：錯誤。 因為 $f(1)f(2)f(3) < 0$ 只保證三個端點值中有奇數個為負，不保證 $f(x)$ 在 $(1,3)$ 內有根。反例：取 $f(x) = -(x-2)^2 - 1$，則 $f(1) = -2$，$f(2) = -1$，$f(3) = -2$，乘積為 $-4 < 0$，但 $f(x)$ 恆為負，在 $(1,3)$ 內無根。 選項 $(4)$：正確。 因為令 $F(t) = \int_0^t f(x)\,dx$，則 $F(t)$ 為多項式函數，在區間 $[1,2]$ 上連續。由題設 $F(1)F(2) < 0$，由中間值定理，存在 $c \in (1,2)$ 使得 $F(c) = 0$，即 $\int_0^c f(x)\,dx = 0$。 選項 $(5)$：錯誤。 因為 $\int_1^2 f(x)\,dx = 0$ 不保證 $f(1)f(2) < 0$。反例：取 $f(x) = (x - \frac{3}{2})(x-1)(x-2)$，則 $f(1) = 0$，$f(2) = 0$，$f(1)f(2) = 0$ 並非小於 $0$，且此函數對 $x = \frac{3}{2}$ 為奇函數，積分為 $0$。 故選 $(1)(4)$。