109指考數學甲補考多選第6題詳解

選項 $(1)$：正確。 因為第一次擲出 $6$，所以若要第二次就停止，第二次必須擲出 $1$（使 $6+1=7$）。因為骰子公正，所以機率為 $\frac{1}{6}$。 選項 $(2)$：正確。 因為兩次就停止的組合為 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共 $6$ 種有序對，而兩次投擲共有 $6 \times 6 = 36$ 種可能，所以機率為 $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。 選項 $(3)$：錯誤。 因為第一次擲出 $5$，所以第二次不能擲出 $2$（否則第二次就停止）。第二次可擲出 $1,3,4,5,6$ 共 $5$ 種，每種機率 $\frac{1}{6}$。對於每個第二次結果，第三次須擲出 $7 - (\text{第二次點數})$，每種機率 $\frac{1}{6}$。所以三次恰停止的機率為 $5 \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \neq \frac{1}{6}$。 選項 $(4)$：錯誤。 因為三次恰停止表示前兩次和不等於 $7$ 且第二三次和等於 $7$。對於每個第一次結果，有 $5$ 個第二次結果使前兩次和不等於 $7$，第三次需為特定值，所以機率為 $6 \times 5 \times 1 \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{30}{216} = \frac{5}{36}$，小於 $\frac{1}{6}$。 選項 $(5)$：錯誤。 因為至少投擲三次才停止的機率為 $1 - P(\text{第二次就停止}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \neq \frac{1}{2}$。 故選 $(1)(2)$。