詳解
1. 由題意，側面三角形 $\Delta ABC$、$\Delta ACD$、$\Delta ABD$ 皆為兩腰長為 $1$ 且頂角為 $30^\circ$ 的等腰三角形，故三側面全等。
2. 因此其底邊亦相等，即 $\overline{BC} = \overline{CD} = \overline{DB}$，底面 $\Delta BCD$ 為正三角形。
3. 利用餘弦定理求側面底邊平方 $\overline{BC}^2$：
$$\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{AC} \cos 30^\circ = 1 + 1 - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$$
4. 正三角形 $\Delta BCD$ 的面積為：
$$S_{\Delta BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \overline{BC}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2 - \sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3} - 3}{4}$$
答案為 $\frac{2\sqrt{3}-3}{4}$。
四面體示意圖