89大學聯考數學（自然組）選填第9題詳解

1. 設 $Q(a,b)$ 為橢圓上的點，滿足 $\frac{a^2}{4} + b^2 = 1 \implies b^2 = 1 - \frac{a^2}{4}$，其中 $-2 \le a \le 2$。 2. $Q$ 到 $P(p,0)$ 的距離平方為： $$d^2 = (a-p)^2 + b^2 = (a-p)^2 + 1 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2 - 2pa + 1 + p^2$$ 3. 配方求極值： $$d^2 = \frac{3}{4}\left(a - \frac{4}{3}p\right)^2 + 1 - \frac{1}{3}p^2$$ 4. 因為 $0 < p < \frac{3}{2}$，所以 $0 < \frac{4}{3}p < 2$。 5. 因此當 $a = \frac{4}{3}p$ 時，距離平方 $d^2$ 有最小值，即最近點的 $a$ 座標為 $\frac{4}{3}p$。 答案為 $\frac{4}{3}p$。