89大學聯考數學（自然組）選填第10題詳解

1. 本題即求點 $(1,2,2)$ 對球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的極平面（polar plane）方程式。 2. 過球外一點 $P(x_0, y_0, z_0)$ 的切點所決定的平面方程式為： $$x_0 x + y_0 y + z_0 z = R^2$$ 3. 代入 $P(1,2,2)$ 與 $R^2=1$，得平面方程式為： $$x + 2y + 2z = 1$$ 答案為 $x+2y+2z=1$。 另解 1. 設切點為 $Q(x,y,z)$，球心 $O$ 為原點，則半徑 $\overline{OQ}$ 垂直切線 $\overline{PQ}$，所以 $Q\cdot(P-Q)=0$。 2. 因 $Q$ 在單位球上，$Q\cdot Q=1$，故 $P\cdot Q=1$。代入 $P=(1,2,2)$，得到 $x+2y+2z=1$。