89大學聯考數學（自然組）非選第11題詳解

因為曲線 $y = x^3+ax^2+bx+c$ 與 $x$ 軸（$y=0$）相切於原點 $(0,0)$，故： 1. 通過原點：$c = 0$。 2. 斜率為 $0$：由 $y' = 3x^2+2ax+b$，得 $y'(0) = b = 0$。 開頭方程式為 $y = x^3+ax^2$。 求與 $x$ 軸的另一交點： $$x^3 + ax^2 = 0 \implies x^2(x+a) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = -a$$ 由圖可知交點在 $x$ 軸負半軸，故 $-a > 0 \implies a < 0$。 曲線在區間 $[0, -a]$ 與 $x$ 軸所圍的灰色區域面積為： $$S = \int_{0}^{-a} [0 - (x^3+ax^2)] dx = -\left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^3}{3} \right]_0^{-a} = -\left( \frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{3} \right) = \frac{a^4}{12}$$ 已知面積為 $3$： $$\frac{a^4}{12} = 3 \implies a^4 = 36 \implies a = -\sqrt{6} \ (\text{因 } a < 0)$$ 因此，常數之值為 $a = -\sqrt{6}$，$b = 0$，$c = 0$。