詳解
1. 解法一（代數平方法）：
由已知 $\cos\theta + 3\sin\theta = 2 \implies 3\sin\theta = 2 - \cos\theta$。
將兩邊平方得：
$9\sin^2\theta = 4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta$。
代入 $\sin^2\theta = 1 - \cos\theta^2$：
$9(1 - \cos^2\theta) = 4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta$
$10\cos^2\theta - 4\cos\theta - 5 = 0$。
利用一元二次方程式公式解求 $\cos\theta$：
$\cos\theta = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(10)(-5)}}{20} = \frac{4 \pm \sqrt{216}}{20} = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{10}$。
因為 $0^\circ < \theta < 90^\circ$，$\cos\theta > 0$，故 $\cos\theta = \frac{2 + 3\sqrt{6}}{10}$。
代回 $3\sin\theta = 2 - \cos\theta$：
$3\sin\theta = 2 - \frac{2 + 3\sqrt{6}}{10} = \frac{18 - 3\sqrt{6}}{10} \implies \sin\theta = \frac{6 - \sqrt{6}}{10}$。
因此：
$\cos\theta + \sin\theta = \frac{2 + 3\sqrt{6}}{10} + \frac{6 - \sqrt{6}}{10} = \frac{8 + 2\sqrt{6}}{10} = \frac{4 + \sqrt{6}}{5}$。
另解
2. 解法二（疊合與參數法）：
設 $\cos\theta + \sin\theta = t$。
由正餘弦疊合可知 $t = \sqrt{2}\cos\left(\theta - 45^\circ\right)$。
因為 $0^\circ < \theta < 90^\circ \implies -45^\circ < \theta - 45^\circ < 45^\circ$，
故 $\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos\left(\theta - 45^\circ\right) \le 1 \implies 1 < t \le \sqrt{2}$。
聯立方程式：
$\begin{cases} \cos\theta + \sin\theta = t \\ \cos\theta + 3\sin\theta = 2 \end{cases}$
相減得 $2\sin\theta = 2 - t \implies \sin\theta = \frac{2 - t}{2}$。
代回得 $\cos\theta = t - \sin\theta = \frac{3t - 2}{2}$。
將其代入關係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$：
$\left(\frac{2 - t}{2}\right)^2 + \left(\frac{3t - 2}{2}\right)^2 = 1$
$\frac{4 - 4t + t^2}{4} + \frac{9t^2 - 12t + 4}{4} = 1 \implies 10t^2 - 16t + 8 = 4$
$5t^2 - 8t + 2 = 0$。
解得 $t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(5)(2)}}{10} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{5}$。
因為 $\sqrt{2} \approx 1.414$，而 $\frac{4 - \sqrt{6}}{5} \approx 0.31 < 1$ 不合；
$\frac{4 + \sqrt{6}}{5} \approx 1.29$ 介於 $1$ 與 $\sqrt{2}$ 之間，符合條件。
故 $\cos\theta + \sin\theta = \frac{4 + \sqrt{6}}{5}$。
3. 解法三（向量投影法）：
由 $\cos\theta+3\sin\theta=2$ 的係數關係，令 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}=(1,3)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=(\cos\theta,\sin\theta)$，$\angle AOB=\alpha$。則 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=2$，$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\right|=\sqrt{10}$，$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OB}\right|=1$。
由內積夾角公式可得 $\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{10}}$，且 $\sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$。
在 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 上取一點 $C$，使得 $\overline{BC}\perp \overline{OA}$。因為 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OB}\right|=1$，所以 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OC}\right|=\frac{2}{\sqrt{10}}$，$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{CB}\right|=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$。
而 $\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$ 為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 方向的單位向量，$\frac{1}{\sqrt{10}}(3,-1)$ 為其順時針旋轉 $90^\circ$ 後的單位向量。又 $0^\circ<\theta<90^\circ$，故
$\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=\frac{2}{\sqrt{10}}\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right)+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}\left(\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$，
即 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=\left(\frac{2+3\sqrt{6}}{10},\frac{6-\sqrt{6}}{10}\right)$。因此 $B\left(\frac{2+3\sqrt{6}}{10},\frac{6-\sqrt{6}}{10}\right)$，所以
$\cos\theta+\sin\theta=\frac{2+3\sqrt{6}}{10}+\frac{6-\sqrt{6}}{10}=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$。
4. 解法四（複數旋轉）：
設向量 $OA$ 對應複數 $1+3i$。依頁圖的旋轉表示，點 $B(\cos\theta,\sin\theta)$ 對應複數
$Z(B)=\frac{1}{10}(1+3i)(2-\sqrt{6}i)$。
展開得
$Z(B)=\frac{2+3\sqrt{6}}{10}+\frac{6-\sqrt{6}}{10}i$，
所以
$\cos\theta+\sin\theta=\frac{2+3\sqrt{6}}{10}+\frac{6-\sqrt{6}}{10}=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$。
向量投影與角平分解析示意圖