108指考數學甲多選第4題詳解

設 $A(7,0)$，$B(0, \dfrac{7}{2})$。線段 $\overline{AB}$ 的中點為 $M(\dfrac{7}{2}, \dfrac{7}{4})$，$\overline{AB}$ 的長度為： $$AB = \sqrt{7^2 + \left(\dfrac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{49 + \dfrac{49}{4}} = \sqrt{\dfrac{49 \times 5}{4}} = \dfrac{7}{2}\sqrt{5} \approx 3.5 \times 2.236 \approx 7.826$$ (1) $\Gamma$ 的最小半徑為 $\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{7}{4}\sqrt{5} \approx 3.913$，小於 $5$，故半徑不一定大於或等於 $5$。錯誤。 (2) 當半徑最小時，圓心為 $M(\dfrac{7}{2}, \dfrac{7}{4})$。原點 $O(0,0)$ 到 $M$ 的距離為： $$OM = \sqrt{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{7}{4}\right)^2} = \dfrac{7}{4}\sqrt{2^2 + 1^2} = \dfrac{7}{4}\sqrt{5}$$ 此距離等於最小半徑，故 $\Gamma$ 通過原點。正確。 (3) 圓心 $P(x,y)$ 必在 $\overline{AB}$ 的中垂線上。中垂線方程式為 $y - \dfrac{7}{4} = 2(x - \dfrac{7}{2}) \implies y = 2x - \dfrac{21}{4}$。設圓心為 $(t, 2t - 5.25)$。當 $t$ 很大時，圓心到直線 $x+2y=6$ 的距離 $d$ 可能大於半徑 $R$，故不一定有交點。錯誤。 (4) 圓心所在直線 $y = 2x - 5.25$ 通過第四象限（例如當 $x=1$ 時，$y=-3.25$），故圓心可能在第四象限。錯誤。 (5) 若圓心在第三象限，則 $x < 0$ 且 $y < 0$。由於 $y = 2x - 5.25$，當 $x < 0$ 時，$y < -5.25$。半徑 $R$ 滿足： $$R^2 = (x-7)^2 + y^2 > (-7)^2 + (-5.25)^2 = 49 + 27.5625 = 76.5625 > 64$$ 故 $R > \sqrt{76.5625} = 8.75 > 8$。正確。 綜上所述，正確選項為 $(2)(5)$。