108指考數學甲選填第11題詳解

設正六邊形的連續三個頂點為 $V_1 = z$，$V_2 = 0$，$V_3 = z + 5 - 2\sqrt{3}i$。由於頂點依順時針方向排列，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{V_2V_3}$ 是由向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{V_2V_1}$ 經原點順時針旋轉 $120^\circ$ 而得。 在複數平面上，這代表： $$V_3 - V_2 = (V_1 - V_2) \cdot (\cos(-120^\circ) + i\sin(-120^\circ))$$ $$z + 5 - 2\sqrt{3}i = z \cdot \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$$ 將含 $z$ 的項移至左側： $$z + \dfrac{1}{2}z + \dfrac{\sqrt{3}}{2}iz = -5 + 2\sqrt{3}i$$ $$z \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -5 + 2\sqrt{3}i$$ $$z = \dfrac{-10 + 4\sqrt{3}i}{3 + \sqrt{3}i}$$ 分子分母同乘以 $3 - \sqrt{3}i$： $$z = \dfrac{(-10 + 4\sqrt{3}i)(3 - \sqrt{3}i)}{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \dfrac{-30 + 10\sqrt{3}i + 12\sqrt{3}i + 12}{9 + 3} = \dfrac{-18 + 22\sqrt{3}i}{12}$$ $$z = -\dfrac{18}{12} + \dfrac{22\sqrt{3}}{12}i = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{11\sqrt{3}}{6}i$$ 因此 $z$ 的實部為 $-\dfrac{3}{2}$。