二、坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^3-4x^2+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。
（1）當 $m=2$ 時，試求出在 $x\ge0$ 的範圍內，$\Gamma$ 與 $L$ 的三個相異交點的 $x$ 坐標。（$2$ 分）
（2）承（1），試求 $\Gamma$ 與 $L$ 所圍有界區域面積的值。（$4$ 分）
（3）在 $x\ge0$ 的範圍內，若 $\Gamma$ 與 $L$ 有三個相異交點，則滿足此條件的 $m$ 之最大範圍為 $a
微積分函數多項式函數與運算微積分
解題手法分類討論〔AI 推測〕
答案
$x=0,1,3$；面積 $\dfrac{37}{12}$；$a=1,\ b=5$。
詳解
交點滿足 $x^3-4x^2+5x=mx$，即 $x(x^2-4x+5-m)=0$。當 $m=2$ 時，$x(x^2-4x+3)=x(x-1)(x-3)=0$，故三個 $x$ 坐標為 $0,1,3$。此時兩曲線差為 $x^3-4x^2+3x=x(x-1)(x-3)$，在 $[0,1]$ 為正，在 $[1,3]$ 為負，面積為 $\int_0^1(x^3-4x^2+3x)\,dx-\int_1^3(x^3-4x^2+3x)\,dx=\dfrac{37}{12}$。一般情形需 $x^2-4x+5-m=0$ 有兩個相異正根。判別式 $16-4(5-m)=4(m-1)>0$ 得 $m>1$；較小根 $2-\sqrt{m-1}$ 須為正，得 $m<5$。故最大範圍為 $1
題目來源：大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。