114分科測驗數學甲多選第6題詳解

$(1)$ 因為 $f(0)=1.2^0=1>0$，正確。 $(2)$ 因為 $1.2^{10}=(1.2^5)^2$，而 $1.2^5\approx 2.488$， 所以 $1.2^{10}\approx 6.19<10$，錯誤。 $(3)$ 令 $g(x)=1.2^x-x$。 因為 $g(1)=1.2-1=0.2>0$ 且 $g(2)=1.44-2=-0.56<0$， 由介值定理知存在 $c\in(1,2)$ 使 $g(c)=0$， 所以 $y=1.2^x$ 與 $y=x$ 的圖形有交點，正確。 $(4)$ 因為 $\log(1.2^x)=x\log 1.2$ 為通過原點的直線， 而 $\log_{1.2}x$ 是 $1.2^x$ 的反函數圖形，兩者不同，錯誤。 $(5)$ 令 $h(b)=\log_{1.2}b-1.2^b$。 因為 $h(1)=\log_{1.2}1-1.2=-1.2<0$， 且當 $b\to 0^+$ 時 $\log_{1.2}b\to-\infty$，$h(b)<0$； 當 $b\to\infty$ 時 $1.2^b$ 指數成長遠大於 $\log_{1.2}b$，$h(b)<0$。 同時 $h(b)$ 為連續函數，可能不存在零點。 經分析 $\log_{1.2}b$ 與 $1.2^b$ 的圖形特徵，兩者不相交，錯誤。 故選 $(1)(3)$。