85學測數學多選第11題詳解

設選中 $A$ 廠產品的事件為 $A$，$B$ 廠產品的事件為 $B$，選到瑕疵品的事件為 $D$。由題意知： $$P(A) = 0.3, \ P(B) = 0.7$$ $$P(D|A) = 0.01 = 1\%, \ P(D|B) = 0.05 = 5\%$$ 退貨部門收到一件瑕疵品，此事件為 $D$ 已發生。我們計算在此條件下，產品來自各廠的條件機率： - 全體瑕疵品的機率（分母）： $$P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) = 0.3 \times 0.01 + 0.7 \times 0.05 = 0.003 + 0.035 = 0.038$$ - 此瑕疵品來自 $A$ 廠的條件機率： $$P(A|D) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0.3 \times 0.01}{0.038} = \dfrac{0.003}{0.038} = \dfrac{3}{38}$$ - 此瑕疵品來自 $B$ 廠的條件機率： $$P(B|D) = \dfrac{P(B \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0.7 \times 0.05}{0.038} = \dfrac{0.035}{0.038} = \dfrac{35}{38}$$ 評估選項： - $(1)$ 與 $(2)$：因為 $P(B|D) = \dfrac{35}{38} > \dfrac{3}{38} = P(A|D)$，猜是由 $B$ 廠製造的猜對機率較大。故 $(1)$ 錯誤，$(2)$ 正確。 - $(3)$：此瑕疵品由 $A$ 廠製造的條件機率為 $\dfrac{3}{38}$。故 $(3)$ 正確。 - $(4)$ 與 $(5)$：$\dfrac{30}{10000} = 0.003 = P(A \cap D)$ 且 $\dfrac{350}{10000} = 0.035 = P(B \cap D)$ 是選出 $A$（或 $B$）廠且為瑕疵品的聯合機率，非已知是瑕疵品下的條件機率。故 $(4)$ 和 $(5)$ 錯誤。 故正確答案為 $(2)(3)$。