因為 $a > b > 1000 > 1$，所以 $\log_7 a > \log_7 b > 0$。 1. **分析 $p$ 與 $q$**： - $p = \sqrt{\log_7 a \cdot \log_7 b}$ 是 $\log_7 a$ 與 $\log_7 b$ 的幾何平均數（GM）。 - $q = \dfrac{1}{2}(\log_7 a + \log_7 b)$ 是 $\log_7 a$ 與 $\log_7 b$ 的算術平均數（AM）。 根據對數性質： $$q = \log_7 (ab)^{\frac{1}{2}} = \log_7 \sqrt{ab}$$ 因此選項 $(1)$ 正確。 因為 $a \neq b$，所以 $\log_7 a \neq \log_7 b$，根據算幾不等式（AM > GM）： $$q > p$$ 2. **分析 $q$ 與 $r$**： 考慮對數函數 $y = \log_7 x$。由於底數 $7 > 1$，此函數圖形在第一象限是嚴格單調遞增且**凹向下**（concave down）的曲線。 根據凹函數性質（Jensen 不等式）： $$\log_7\left(\dfrac{a + b}{2}\right) > \dfrac{\log_7 a + \log_7 b}{2} \implies r > q$$ 因此選項 $(2)$ 錯誤。 3. **綜合比較大小**： $$p < q < r$$ 由此可知，選項 $(4)$ 正確，選項 $(3)$ 和 $(5)$ 錯誤。 故正確答案為 $(1)(4)$。