85學測數學選填第20題詳解

Question

學校蓋了一棟正四面體的玻璃溫室（如圖 6）。今欲將一鋼柱橫架在室中，作為吊花的橫樑。其兩端分別固定在兩面牆 $ABC$ 和 $ACD$ 的重心 $E$，$F$ 處。生物老師要先知道這個鋼柱多長，才能請工人製作。雖然 $\overline{BD}$ 的長度很容易量出，卻很難爬到 $E$，$F$ 點測量 $\overline{EF}$ 長。生物老師在上課時說出他的問題，立刻有一位同學舉手說他有辦法。這位同學在紙上劃出圖 6 ，算出 $\overline{EF}:\overline{BD}$ 就解決了問題。問 $\overline{EF}:\overline{BD}=	ext{______}$。

Accepted Answer

答案：1:3
令 $M$ 為 $\overline{AC}$ 的中點。因為三角形重心把中線按 $2:1$ 分割，所以 $$\frac{\overline{ME}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{MF}}{\overline{MD}}=\frac13.$$ 在 $	riangle MBD$ 中，截線 $\overline{EF}$ 平行於 $\overline{BD}$，且相似比為 $1:3$，故 $$\overline{EF}:\overline{BD}=1:3.$$ 所以比例為 $1:3$（或比值為 $\frac{1}{3}$）。

85學測數學選填第20題詳解

答案與本題考點

題目

答案

詳解