110學測數學選填第20題詳解

1. 設 $A$ 為原點 $(0,0,0)$。因為 $\overline{AB}=4\sqrt{6}$，所以設 $B=(4\sqrt{6},0,0)$。 2. 設 $C=(x_C,y_C,0)$ 在 $xy$ 平面上。因為 $\overline{AC}=4\sqrt{6}$ 且 $\cos\angle BAC=\frac{1}{3}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AC}=4\sqrt{6}\cdot x_C=|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}||\overset{\large\rightharpoonup}{AC}|\cos\angle BAC=4\sqrt{6}\cdot4\sqrt{6}\cdot\dfrac{1}{3}=32$$ 所以 $x_C=\frac{32}{4\sqrt{6}}=\frac{8}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$。 又 $x_C^2+y_C^2=(4\sqrt{6})^2=96$，所以 $y_C^2=96-\frac{96}{9}=\frac{768}{9}=\frac{256}{3}$，得 $y_C=\frac{16}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。 3. 設 $D=(u,v,h)$，其中 $h$ 即為點 $D$ 到平面 $ABC$（$xy$ 平面）的距離。 因為 $\overline{AD}=4\sqrt{6}$，所以 $u^2+v^2+h^2=96$。 因為 $\overline{BD}=8$，所以 $(u-4\sqrt{6})^2+v^2+h^2=64$。 兩式相減得 $u^2+v^2+h^2-[(u-4\sqrt{6})^2+v^2+h^2]=96-64$，即 $8\sqrt{6}u-96=32$，所以 $u=\frac{128}{8\sqrt{6}}=\frac{16}{\sqrt{6}}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$。 4. 因為 $\overline{CD}=8$，且 $C=\left(\frac{4\sqrt{6}}{3},\frac{16\sqrt{3}}{3},0\right)$，所以 $$\left(u-\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2+\left(v-\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\right)^2+h^2=64$$ 因為 $u=\frac{8\sqrt{6}}{3}$，第一項為 $\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2=\frac{32}{3}$。 展開第二項：$v^2-\frac{32\sqrt{3}}{3}v+\frac{256}{3}$。 又 $u^2+v^2+h^2=96$，且 $u^2=\frac{128}{3}$，所以 $v^2+h^2=96-\frac{128}{3}=\frac{160}{3}$。 因此 $\frac{32}{3}+\left(v^2-\frac{32\sqrt{3}}{3}v+\frac{256}{3}\right)+h^2=64$。 代入 $v^2+h^2=\frac{160}{3}$： $$\dfrac{32}{3}-\dfrac{32\sqrt{3}}{3}v+\dfrac{256}{3}+\dfrac{160}{3}=64\implies \dfrac{448}{3}-\dfrac{32\sqrt{3}}{3}v=64$$ $$\dfrac{32\sqrt{3}}{3}v=\dfrac{448}{3}-64=\dfrac{256}{3}\implies v=\dfrac{8}{\sqrt{3}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$$ 5. 因為 $u^2+v^2+h^2=96$，且 $u^2=\frac{128}{3}$、$v^2=\frac{64}{3}$，所以 $h^2=96-\frac{192}{3}=96-64=32$，得 $h=4\sqrt{2}$。 故填 $4\sqrt{2}$。