110學測數學選填第19題詳解

1. 設第一步方向為 $x$ 軸正向。每次轉向規則依序為：逆時針 $45^\circ$、順時針 $90^\circ$，往復循環。每次前進 $1$ 公尺。 2. 因為每 $4$ 步的轉向總和為 $45^\circ-90^\circ+45^\circ-90^\circ=-90^\circ$，所以 $16$ 步後總旋轉為 $-360^\circ$，位移向量和為零，路徑回到起點形成封閉多邊形。 3. 計算 $16$ 段位移的 $x$、$y$ 分量，累加得各頂點坐標，再以鞋帶公式計算封閉區域面積。 4. 化簡後，有理數部分得 $8$，含 $\sqrt{2}$ 的部分得 $4\sqrt{2}$，所以面積為 $8+4\sqrt{2}$ 平方公尺。 故填 $8+4\sqrt{2}$。