110學測數學選填第18題詳解

1. 因為 $(\sqrt[3]{49})^{100}=49^{$\frac{100}{3}$}=(7^2)^{$\frac{100}{3}$}=7^{$\frac{200}{3}$}$，所以 $$\log_{10}(\sqrt[3]{49})^{100}=\dfrac{200}{3}\log_{10}7$$ 2. 因為 $\log_{10}7\approx0.8451$，所以 $\frac{200}{3}\times0.8451\approx56.34$。 3. 因為 $\log_{10}(\sqrt[3]{49})^{100}\approx56.34$，所以 $(\sqrt[3]{49})^{100}=10^{56.34}=10^{0.34}\times10^{56}$。因此 $n=56$，$a=10^{0.34}$。 4. 因為 $\log_{10}2\approx0.3010$、$\log_{10}3\approx0.4771$，且 $0.3010<0.34<0.4771$，所以 $2<10^{0.34}<3$，因此 $a$ 的整數部分 $m=2$。 故填 $m=2\text{ 且 }n=56$。