110學測數學選填第17題詳解

1. 因為正方形 $\Gamma$ 的中心在 $(1,1)$，邊長 $4$ 且各邊平行坐標軸，所以 $\Gamma$ 的範圍為 $x\in[-1,3]$，$y\in[-1,3]$。 2. 函數 $y=a\cdot2^x$ 與 $\Gamma$ 相交，表示存在 $x\in[-1,3]$ 使得 $a\cdot2^x\in[-1,3]$。 3. 因為 $2^x>0$ 恆成立，所以 $a=\frac{y}{2^x}$。$a$ 的取值範圍由 $\frac{y}{2^x}$ 在矩形區域 $x\in[-1,3]$、$y\in[-1,3]$ 內的最大值與最小值決定。 4. 因為 $2^x$ 在 $x=-1$ 時最小（$\frac{1}{2}$）、在 $x=3$ 時最大（$8$），所以 $\frac{y}{2^x}$ 的： 最大值發生在 $y=3$、$x=-1$ 時：$\frac{3}{1/2}=6$； 最小值發生在 $y=-1$、$x=-1$ 時：$\frac{-1}{1/2}=-2$。 5. 因此 $a$ 的最大可能範圍為 $-2\le a\le6$。 故填 $-2\le a\le6$。