題目
從 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 這九個數中任意取出三個相異的數，每數被取出的機率皆相等，則三數乘積是一完全平方數的機率為 ____。（化成最簡分數）
詳解
1. 因為從 $9$ 個數中任取 $3$ 個相異數，總取法為 $C^9_3=84$。
2. 三數乘積為完全平方數，表示各質因數的指數和均為偶數。將 $1$ 至 $9$ 各數做質因數分解：$1=1$，$2=2$，$3=3$，$4=2^2$，$5=5$，$6=2\times3$，$7=7$，$8=2^3$，$9=3^2$。
3. 以模 $2$ 向量（各質因數指數取 mod $2$）分類各數：
$(0,0,0,0)$ 類（平方數）：$1,4,9$
$(1,0,0,0)$ 類（僅 $2$ 奇次）：$2,8$
$(0,1,0,0)$ 類（僅 $3$ 奇次）：$3$
$(1,1,0,0)$ 類（$2$ 和 $3$ 皆奇次）：$6$
$(1,0,1,0)$ 類（含 $5$）：$5$
$(1,0,0,1)$ 類（含 $7$）：$7$
4. 三數乘積為完全平方數等價於三個模 $2$ 向量和為零向量。逐一檢查可得 $6$ 組。
5. 所以因此機率為 $\frac{6}{84}=\frac{1}{14}$。
故填 $\frac{1}{14}$。
題目來源：民國110年學測數學 第16題（來源PDF第6頁）
資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈110學測數學選填第16題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/110_02M_q16
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