110學測數學選填第15題詳解

1. 因為 $L_1$ 落在平面 $E$ 上，所以 $E$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$垂直於 $L_1$ 的方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{d_1}=(2,-3,-5)$。 2. 因為 $L_2$ 與 $E$ 不相交（平行於 $E$ 但不在 $E$ 上），所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 亦垂直於 $L_2$ 的方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{d_2}=(0,2,3)$。 3. 因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 可取為 $\overset{\large\rightharpoonup}{d_1}\times\overset{\large\rightharpoonup}{d_2}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{n}=\begin{vmatrix}\overset{\large\rightharpoonup}{i}&\overset{\large\rightharpoonup}{j}&\overset{\large\rightharpoonup}{k}\\2&-3&-5\\0&2&3\end{vmatrix}=((-3)\cdot3-(-5)\cdot2,\;(-5)\cdot0-2\cdot3,\;2\cdot2-(-3)\cdot0)=(1,-6,4)$$ 4. 因為 $L_1:\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{-5}$ 通過原點 $(0,0,0)$ 且落在 $E$ 上，所以 $E$ 的方程式為 $1\cdot x-6\cdot y+4\cdot z=0$，即 $x-6y+4z=0$。 故填 $x-6y+4z=0$。