100學測數學選填第20題詳解

1. 直線 $L$ 在平面 $H: x - y + z = 2$ 上，所以 $L$ 的方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}$ 必垂直於平面的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (1, -1, 1)$。 2. 點 $P(2,1,1)$ 為 $L$ 上距離原點 $O$ 最近的點，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP} = (2, 1, 1)$ 垂直於 $L$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{d}$。 3. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}$ 同時垂直於 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$，所以可取 $$\overset{\large\rightharpoonup}{d} = \overset{\large\rightharpoonup}{OP} \times \overset{\large\rightharpoonup}{n} = (2, 1, 1) \times (1, -1, 1).$$ 4. 計算外積： \begin{align*} \overset{\large\rightharpoonup}{d} &= \begin{vmatrix} \overset{\large\rightharpoonup}{i} & \overset{\large\rightharpoonup}{j} & \overset{\large\rightharpoonup}{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \\ &= (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1),\; 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1,\; 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \\ &= (1+1,\; 1-2,\; -2-1) = (2, -1, -3). \end{align*} 5. 題目已給定方向向量的第一個分量為 $2$，所求後兩個分量為 $-1$、$-3$。 故填 $(2,-1,-3)$。