106學測數學多選第10題詳解

首先求三直線的方向向量與通過的點。 直線 $L_1$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1=(2,2,1)$，且通過點 $P_1(1,-1,0)$。 直線 $L_2$ 為兩平面交線，兩法向量可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1=(1,-2,2)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(1,1,-4)$，所以方向向量為 $$\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2=\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\times\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(6,6,3)=3(2,2,1).$$ 因此 $L_1 \mathbin{/\!/} L_2$，方向向量不垂直，故 $(1)$ 錯誤；兩平行直線必共平面，故 $(3)$ 正確。 直線 $L_3$ 的方向向量可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_3=(-1,-1,4)$。 $$\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}_3=2(-1)+2(-1)+1(4)=0.$$ 所以 $L_1 \perp L_3$，故 $(2)$ 正確。 又 $L_3$ 在 $t=-1$ 時通過 $(1,-1,0)$，正是 $L_1$ 上的點，所以 $L_1$ 與 $L_3$ 相交，相交兩直線必共平面，故 $(4)$ 正確。 最後檢驗 $L_2$ 與 $L_3$。取 $L_2$ 上一點 $P_2=(2,3,0)$，$L_3$ 上一點 $P_3=(0,-2,4)$。 因為 $(P_3-P_2)\cdot(\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}_3)\ne 0$， 所以 $L_2$ 與 $L_3$ 為歪斜線，不共平面，故 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)(4)$。